Rabu, 12 Januari 2011

cara cepat menentukan akar pangkat tiga dan lima tanpa menggunakan kalkulator

CARA CEPAT MENGHITUNG AKAR PANGKAT TIGA DAN AKAR PANGKAT LIMA
TANPA MENGGUNAKAN KALKULATOR
HERMAINI
2007.121.338
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika
FKIP PGRI

ABSTRAK
            Matematika memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari maupun di bidang pendidikan formal, oleh karena itu matematika sebaiknya di ajarkan sejak mereka mulai mengenal angka atau pada tingkat SD agar matematika itu sendiri tidak di anggap sebagai pelajaran yang sulit, membosankan, tidak menarik bahkan menakutkan. Untuk itu banyak orang yang terus berusaha mencari cara cepat dalam penyelesaian masalah matematika agar dapat lebih mudah dipahami serta menyenangkan.
            Salah satu bidang dalam matematika adalah  aljabar yang telah dikenal sejak berabad-abad yang lalu, pelajaran matematika pada siswa SD yang berkenaan dengan aljabar adalah “ akar pangkat “. Akar pangkat terdiri dari akar pangkat dua, akar pangkat tiga dan seterusnya. Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pemangkatan tiga. Beberapa cara mencari akar pangkat tiga di antaranya dengan menggunakan metode coba-coba, pohon faktor (mencari faktorisasi primanya), logaritma, atau menggunakan kalkulator. Yang akan dibahas adalah menentukan cara cepat menghitung hasil dari akar pangkat tiga tanpa memerlukan waktu yang lama ataupun menggunakan kalkulator yaitu dengan mengetahui interval pada digit ke-1 dan ke-2 saja, agar terlihat lebih mudah, dan menyenangkan sehingga dapat dipahami oleh siswa SD, SMP, SMA, maupun kita sebagai pendidik. Selain akar pangkat tiga terdapat juga akar pangkat lima walaupun jarang kita temukan dalam soal-soal matematika namun akan kita bahas pada makalah ini, cara menghitungnya sedikit berbeda dari akar pangkat tiga terlihat pada penyelesaian digit terakhirnya, namun tetap menggunakan interval untuk mencari digit pertamanya.

Kata Kunci : Cara cepat, akar pangkat tiga, akar pangkat lima

1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
            Matematika adalah salah satu mata pelajaran yang di pelajari dari jenjang pendidikan dasar sampai dengan pendidikan menengah bahkan perguruan tinggi yaitu untuk sebagian mahasiswa yang mengambil jurusan FKIP matematika.
Di dalam pelajaran matematika banyak sekali kita temukan rumus-rumus yang terkadang sulit di mengerti oleh sebagian siswa, padahal matematika adalah pelajaran yang sistematis, atau antara rumus memiliki keterkaitan satu sama lain. Maka jika siswa tidak dapat memahami salah satu materi pelajaran, akan berpengaruh terhadap materi selanjutnya. dan ini menjadi tanggung jawab seorang pendidik untuk menjadikan agar matematika itu menjadi sesuatu yang menyenangkan, mudah dipahami, dan bukan sebagai suatu pelajaran yang menakutkan bagi anak sekolah dasar, agar ketika mereka mempelajari materi yang lebih sulit maka akan sedikit terbantu karena pada materi sebelumnya telah di mengerti, Djadir ( Jayadi, 1987:15) mengemukakan bahwa ” Matematika merupakan salah satu sarana berfikir ilmiah yang paling sistematis dan konsisten, serta matematika dapat diterapkan seawal mungkin kepada anak didik sejak memasuki bangku sekolah”.           
Pada pelajaran matematika, ada beberapa macam bidang pelajaran yang dapat kita temukan, seperti yang dikemukakan oleh James dan James ( Leonard,2009) matematika diartikan sebagai ilmu logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep – konsep yang saling berhubungan satu sama lainnya dengan jumlah yang terbagi ke dalam tiga bidang yaitu aljabar, analisis, dan geometri.
            Aljabar telah dikenal sejak berabad-abad tahun yang lalu,  salah satu materi pada pelajaran matematika yang berkenaan dengan aljabar adalah ” akar pangkat tiga”. Akar pangkat tiga adalah kebalikan dari pemangkatan tiga.
Banyak cara mencari atau mengerjakan penyelesaian dari akar pangkat tiga diantaranya adalah mencari 3 angka yang sama untuk dikalikan atau lebih dikenal dengan cara coba-coba, menggunakan pohon faktor, atau menggunakan logaritma bahkan menggunakan kalkulator. Namun kesemua cara tersebut terlihat sedikit sulit dan memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing dan memerlukan waktu yang cukup lama dalam pengerjaannya. Padahal ketika ujian akhir sekolah atau yang sering disebut UN, banyak menyajikan soal pilihan ganda yang berjumlah berkisar 25 sampai 40 soal, dikerjakan dalam waktu 60 sampai 90 menit dan tanpa menggunakan kalkulator, jika salah satu soal adalah mencari akar pangkat tiga, alangkah baiknya jika akar pangkat tiga tersebut dapat dihitung hanya dalam hitungan detik saja, sehingga sisa wktunya dapat dikerjakan untuk penyelesaian soal yang lainnya. dan cara yang dapat dilakukan oleh siswa tersebut adalah memahami cara cepat menghitung akar pangkat tiga.
Oleh sebab itu banyak orang yang berusaha menentukan cara cepat untuk mencari penyelesaian dari akar pangkat tiga tanpa menggunakan kalkulator, bahkan dapat dihitung dalam hitungan detik, salah satunya adalah menentukan digit ke-1 dan ke-2nya saja, dan akan dibahas pada makalah ini. Sehingga diharapkan akan timbul semangat baru dan menjadikan matematika tersebut menjadi pelajaran yang menyenangkan bahkan mempermudah siswa mengerjakan akar pangkat tiga tersebut ketika diberikan soal.
Selain akar pangkat tiga, terdapat juga akar pangkat lima, yang pengerjaan atau cara menghitungnya tidak kalah unik dengan akar pangkat tiga karena pada dasarnya sama bahwa akar pangkat tiga dan akar pangkat lima merupakan perpangkatan bilangan ganjil yang memiliki keistimewaan dalam pengerjaannya. Walaupun akar pangkat lima ini jarang kita temukan, namun penyaji akan sedikit mengulas cara cepat menghitung akar pangkat lima dan sama halnya dengan akar pangkat tiga, menghitungnya tanpa menggunakan kalkulator, kita hanya perlu memahami kunci-kunci atau syarat dalam pengerjaannya, seperti interval untuk digit pertamanya, namun untuk digit keduanya sedikit berbeda dengan akar pangkat tiga. bahkan cara ini dapat kita jadikan sebagai sebuah permainan yang menyenangkan.
Dari uraian diatas, maka makalah ini dibuat dengan judul ” Cara Cepat Menghitung Akar Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Lima Tanpa Menggunakan Kalkulator ”.
1.2 Masalah
            Bagaimanakah menentukan cara cepat menghitung akar pangkat tiga dan akar pangkat lima tanpa menggunakan kalkulator.
1.3 Tujuan
            Untuk menentukan cara cepat menghitung akar pangkat tiga dan akar pangkat lima tanpa menggunakan kalkulator.

II. MATERI PENUNJANG
2.1 Pengertian akar pangkat tiga dan akar pangkat lima

            Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pemangkatan tiga, di lambangkan dengan (), maka akar pangkat lima juga merupakan kebalikan dari pemangkatan lima, dan juga dilambangkan dengan ( )
Contoh :      
Perhatikan perpangkatan tiga dan pemangkatan lima berikut.
33 = 3 × 3 × 3 = 27      dan       35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
43 = 4 × 4 × 4 = 64                  45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024
Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pangkat tiga.
 =  =3 karena 33 = 27
 =  = 4 karena 43 = 64
Maka
Akar pangkat lima merupakan kebalikan dari pangkat lima.
 =  =3 karena 35 = 243
 =  = 4 karena 45 = 1024



2.2 Beberapa cara mencari akar pangkat tiga dan akar pangkat lima
  1. Pohon Faktor
Contoh:
a.       =                                                    
Jawab:                                                       
                         2
                            2                                                 =
                                                                                                     = 2 x 3
                                       2                                                = 6
                              
                                            3

                                                  3              
                                                                                    jadi :  = 6
b.  =                                                                              
            jawab :                        

                3                                                                  
                           3                                                                   = = 3
                                
                                     3                                                       

                                             3                                                Jadi  = 3

      2.  Cara Algoritma
Contoh :
a.
Jawab:
Angka 1 dipangkatkan 3 ________ 1x1x1 =1
Pada angka 728 , angka 8 nya di pangkatkan 3_________8x8x8 = 512
    • 1 ( perkalian bilangan pangkat 3 yang hasilnya kurang dari atau sama dengan 1)
    • 2 ( hasil pangkat 3 dari satuan 8)
Jadi
 12
Ø      Cara ini biasanya di pakai untk menentukkan akar pangkat tiga suatu bilangan yang lebih dari 1000
b.
            jawab :
           
            Angka 1 di pangkatkan 5,______1x1x1x1x1=1,           karena angka 1 adalah angka terkecil yang menghasilkan pemangkatan yang sama dengan 1 pada angka pertama dari soal.
            Angka 1889568, angka 8 nya kita pangkatkan 5______8x8x8x8x8= 32768
    • 1 ( perkalian bilangan pangkat 5 yang hasilnya sama dengan 1)
    • 8 ( hasil pangkat 5 dari satuan 8)
Jadi 18
3.      Menggunakan Kalkullator.

III. Materi Pokok.
  1. Akar Pangkat Tiga
            Akar pangkat tiga adalah kebalikan dari pangkat tiga, maka di bahwa ini adalah beberapa perpangkatan tiga :
13 = 1                           103 = 1000                   203 = 8000                   303 = 27000
23 = 8                           113 = 1331                   213 = 9261                   313 = 29791
33 = 27                         123 = 1728                   223 = 10648                 323 = 32768
43 = 64                         133 = 2197                   233 = 12167                 333 = 35937
53 = 125                       143 = 2744                   243 = 13824                 343 = 39304
63 = 216                       153 = 3375                   253 = 15625                 353 = 42875
73 = 343                       163 = 4096                   263 = 17576                 363 = 46656
83 = 512                       173 = 4913                   273 = 19683                 373 = 50653
93 = 729                       183 = 5832                   283 = 21952                 383 = 54872
                                    193 = 6859                   293 = 24389                 393 = 59319                 dan seterunya.........
Dan dari hasil pemangkatan tersebut didapatlah interval atau batasan yang dapat kita gunakan untuk mempermudah dalam perhitungan sebagai kunci untuk menentukan digit ke-1 nya.
Keterangan;
Digit ke-1 bernilai 0 jika pemangkatan tiganya berinterval < 1000
Digit ke-1 bernilai 1 jika pemangkatan tiganya berinterval 1000 an
Digit ke-1 bernilai 2 jika pemangkatan tiganya berinterval 8000 an
Digit ke-1 bernilai 3 jika pemangkatan tiganya berinterval 27.000 an
Digit ke-1 bernilai 4 jika pemangkatan tiganya berinterval 64.000 an
Digit ke-1 bernilai 5 jika pemangkatan tiganya berinterval 125.000 an
Digit ke-1 bernilai 6 jika pemangkatan tiganya berinterval 216.000 an
Digit ke-1 bernilai 7 jika pemangkatan tiganya berinterval 343.000 an
Digit ke-1 bernilai 8 jika pemangkatan tiganya berinterval 512.000 an
Digit ke-1 bernilai 9 jika pemangkatan tiganya berinterval 729.000 an
Dan seterusnya.............
Maka dari uraian di atas, didapatlah cara baru menemukan hasil dari akar pangkat tiga.
http://3.bp.blogspot.com/_FkNycigCTKo/S-PyeGWVAsI/AAAAAAAAAAU/g1-DiEf1zfI/s1600/Akar+Pangkat+Tiga+81.jpg
Jadi :

Langkah - langkah untuk menentukan hasil akar pangkat tiga adalah
  • Langkah pertama: menentukan digit ke-1nya dari nilai akar pangkat tiga tersebut yang telah diketahui pada interval yang telah ditetapkan.
  • Langkah kedua: menentukan digit ke-2 nya dengan melihat angka terakhir dari nilai akar pangkat tiga tersebut yaitu sesuai dengan ketentuannya.
(terlihat pada tabel diatas).

Contoh Soal :
  1. Tentukan hasil dari akar pangkat tiga di bawah ini:
a.
b. =
Jawab :
a.
·        Langkah pertama : kita menentukan digit ke-1 nya yaitu menentukan letak interval dari 1728, ternyata terletak pada nilai 1 dan 2 akan tetapi digit pertama selalu diambil nilai yang lebih kecil, maka digit pertamanya adalah 1.
·        Langkah kedua : menentukan digit keduanya dengan melihat angka terakhirnya, angka terakhirnya adalah 8 maka berdasarkan uraian di atas maka 10 – 8 = 2, sehingga nilai digit keduanya adalah 2.
Jadi : 12
b. =
·        Langkah pertama : kita menentukan digit ke-1 nya yaitu menentukan letak interval dari 175616, ternyata terletak pada nilai 5 dan 6 akan tetapi digit pertama selalu diambil nilai yang lebih kecil, maka digit pertamanya adalah 5.
·        Langkah kedua : menentukan digit keduanya dengan melihat angka terakhirnya, angka terakhirnya adalah 6 maka berdasarkan uraian di atas maka angka 6 berpasangan dengan dirinya sendiri, sehingga nilai digit keduanya adalah 6
Jadi . = 56

  1. Akar Pangkat Lima
Akar pangkat lima merupakan kebalikan dari pangkat lima, sama halnya dengan akar pangkat tiga, akar pangkat lima memiliki prosedur yang sama dalam pengerjaannya, dan cukup menghapalkan interval untuk digit ke-1 dan untuk digit ke-2 sedikit berbeda dengan akar pangkat tiga, karena untuk angka terakhirnya berpasangan dengan dirinya sendiri.




Untuk lebih jelasnya kita perhatikan tabel berikut ini:
Digit Pertama
Nilai
1
100 ribu an
2
3 juta an
3
24 juta an
4
100 juta an
5
300 juta an
6
777 juta an
7
1,5 milyar an
8
3 milyar an
9
6 milyar an


Contoh Soal :
1.      Hitunglah :
a.=
Jawab :
Digit pertama : terlihat pada tabel bahwa 79235168 terletak di antara 24 juta dan 100 juta, berarti ”digit pertama”  adalah terletak pada nilai 3 dan 4. karena digit pertama selalu ditunjukkan oleh nilai yang lebih kecil maka digit pertama nya yaitu 3
Digit kedua: merupakan angka terakhir dari 79235168 yaitu 8, maka digit keduanya adalah 8.
Jadi : =38
b. =
Jawab :
Digit pertama : terlihat pada tabel bahwa 2535525376 terletak di antara 1,5 milyar dan 3 milyar, berarti ”digit pertama”  adalah terletak pada nilai 7 dan 8. karena digit pertama selalu ditunjukkan oleh nilai yang lebih kecil maka digit pertama nya yaitu 7
Digit kedua: merupakan angka terakhir dari 2535525376 yaitu 6, maka digit keduanya adalah 6.
Jadi : = 76







IV. KESIMPULAN DAN SARAN
1.      KESIMPULAN
            Berdasarkan uraian diatas, maka kesimpulan dari makalah yang berjudul ” cara cepat menghitung akar pangkat tiga dan akar pangkat lima tanpa menggunakan kalkulator” adalah
·        Cara cepat matematika merupakan salah satu metode yang dapat meningkatkan kemampuan anak sehingga matematika dapat dianggap sebagai pelajaran yang menyenangkan, dan mudah dipahami.
·        Cara cepat menghitung Akar pangkat tiga dan akar pangkat lima memiliki prosedur yang sama dalam pengerjaannya, yaitu menentukan digit ke-1 dan ke-2 nya saja, dan menjadikan pengakaran menjadi mudah tanpa menggunakan kalkulator.

2.      SARAN
·        Melalui cara cepat matematika ini, dapat dijadikan alternatif cara untuk pengajaran tentang materi akar pangkat tiga maupun akar pangkat lima sehingga anak-anak dapat mengerjakan pengakaran tanpa pengerjaan yang rumit namun menjadikannya menyenangkan.



DAFTAR PUSTAKA

Jayadi. 1991. Berfikir Secara Logis ( Suatu Analisa Kepada Anak Sejak Dini).
            Ujung Pandang : IKIP Ujung Pandang.
Permana,Dadi A dan Triyati. 2008.Bersahabat dengan Matematika untuk Kelas VI SD/MI ( Buku Sekolah elektronik ). Jakarta : PT Galaxy Puspa Mega.
Wagiyo A, F Surati, Irene Supradiarini.2008. Pegangan Belajar Matematika untuk SMP/MTS Kelas VII. Jakarta : PT Galaxy Puspa Mega.
Leonard. 2009 .Matematika dalam Kehidupan Nyata. http://leoriset.blogspot.com/2009/01/matematika-dalam-kehidupan-nyata.html.
(Diaskes pada 28 Oktober 2010)
(Diaskes pada 28 Oktober 2010 )
( Diaskes pada 30 Oktober 2010)





SEMINAR MATEMATIKA
CARA CEPAT
MENGHITUNG AKAR PANGKAT TIGA DAN AKAR PANGKAT LIMA
TANPA MENGGUNAKAN KALKULATOR

  
OLEH :
Nama                                      :   HERMAINI
NIM                                        :   2007.121.338
Prodi                                       :   Pendidikan Matematika
Dosen Pembimbing                :   Dra. Andinasari, M.M

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
2010

2 komentar:

  1. Cara anda hanya berlaku untuk bilangan tertentu saja, gak percaya, coba cari akar pangkat tiga dari 1818=...?, akar pangkat tiga dari 5382=...?, mestinya dapat digunakan invers pangkat tiga dalam sistim desimalnya suatu bilangan

    BalasHapus